zadanie 15/1

1. LICZBY RZECZYWISTE

Każdy ułamek postaci   2 \over m , gdzie m jest liczbą naturalną nieparzystą, można przedstawić jako sumę ułamków o licznikach 1 w postaci sumy:
 
{2 \over m} = {{ 1 \over p} + { 1 \over r}}   ,   gdzie   {p = { {m+1} \over p}, \ \ r = {{m(m+ 1)} \over r}}
 
Przedstaw w takiej postaci ułamek   2 \over 3
 
Wykaż, że dla tego ułamka   {{ 1 \over p} - {1 \over r}} = { 1 \over 3}

 

 

 

ROZWIĄZANIE:
{ 2 \over m} = { 2 \over 3} \Rightarrow m =3
 

{p = { {3+1} \over 2}} = {2} \\ \\ {r = { {3(3+1)} \over 2}} = {6} \\ \\ \\ {2 \over 3} = {{ 1 \over 2 }+{ 1 \over 6 }} \\ \\ {{ 1 \over p} - {1 \over r}} = { 1 \over 2} - { 1 \over 6} = { 1 \over 3}

zadanie 1/2

2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Jakie wyrażenie należy dodać do sześcianu sumy liczb 2 i b, aby otrzymać sześcian różnicy tych liczb?
 

 

 

ROZWIĄZANIE:

korzystając ze wzoru    (a+b)^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3ab^2 + b^3

sześcian sumy liczb 2 i b to    (2+b)^3 = 8+12b+6b^2 + b^3

a sześcian różnicy to    (2-b)^3 = 8 - 12b + 6b^2 - b^3

Musimy rozwiązać równanie:

  (2+b)^3 + x = (2-b)^3 \\ \\ x = (2-b)^3 - (2+b)^3 \\ \\ x = 8 - 12b + 6b^2 - b^3 - 8 -12b - 6b^2 - b^3 \\ \\ x= -2b^3 - 24b
 

Zatem wyrażenie, które należy dodać to    -2b^3 - 24b

zadanie 11/1

1. LICZBY RZECZYWISTE

Cena roweru w pewnym sklepie w październiku była równa 2200zł. W listopadzie cenę obniżono o 20%, a w grudniu podwyższono o 10%. O ile złotych należałoby podnieść cenę roweru po dwukrotnej zmianie ceny, aby wróciła do ceny początkowej?

 

 

 

ROZWIĄZANIE:
Cenę obniżono o 20% czyli nowa cena, to 80% ceny pierwotnej i analogicznie jak cenę podniesiono o 10%, to nowa cena, to 110% ceny poprzedniej.

 
2200 \cdot 0,8 \cdot 1,1 \ = \ 1936 \\ \\ 2200 \ - \ 1936 \ = \ 264

Cenę należałoby podnieść o 264zł.