To jest strona z rozwiązaniami zadań.

• zadanie 17/1
  Wykonaj działania. Wynik zapisz w postaci przedziału i zaznacz na osi liczbowej.   $latex a) \ \ \left ( -6,1 \right\rangle \cup \left ( -7, + \infty \right ) \\ \\ b) \ \ \langle -6 {1 \over 2} , -1 {4 \over 5} ) \cap \left (-2 {3 \over 4}, 6 {1 \over 2} \right ) \\ \\ c) \ \ \left ( -4,-1 \right )\setminus \langle -2,+ \infty ) $       ROZWIĄZANIE: a)   odp. $latex \left ( -7, + \infty \right ) $   b)     odp. $latex \left ( -2 {3 \over 4}, -1 {4 \over 5} \right ) $     c)     odp. $latex \left ( -4, -2 \right ) $
• zadanie 16/1
  Zapisz warunek $latex x \in \left\langle -6,4 \right\rangle $,   używając symbolu wartości bezwzględnej.       ROZWIĄZANIE: środek przedziału:   $latex {s= {{-6+4} \over 2} = -1} $   odległość od środka:   $latex |-6-(-1)| = |-6+1| = 5 $   za pomocą wartości bezwzględnej:   $latex |x+1| \le 5 $
• zadanie 15/1
  Każdy ułamek postaci   $latex 2 \over m &s=1$ , gdzie m jest liczbą naturalną nieparzystą, można przedstawić jako sumę ułamków o licznikach 1 w postaci sumy:   $latex {2 \over m} = {{ 1 \over p} + { 1 \over r}} &s=1$   ,   gdzie   $latex {p = { {m+1} \over p}, \ \ r = {{m(m+ 1)} \over r}} &s=1$   Przedstaw w takiej postaci ułamek   $latex 2 \over 3 &s=1$   Wykaż, że dla tego ułamka   $latex {{ 1 \over p} – {1 \over r}} = { 1 \over 3} &s=1$       ROZWIĄZANIE: $latex { 2 \over m} = { 2 \over 3} \Rightarrow m =3 &s=1$   $latex {p = { {3+1} \over 2}} = {2} \\ \\ {r = { {3(3+1)} \over 2}} = {6} \\ \\ \\ {2 \over 3} = {{ 1 \over 2 }+{ 1 \over 6 }} \\ \\ {{ 1 \over p} – {1 \over r}} = { 1 \over 2} – { 1 \over 6} = { 1 \over 3} &s=1$
• zadanie 1/2
  Jakie wyrażenie należy dodać do sześcianu sumy liczb 2 i b, aby otrzymać sześcian różnicy tych liczb?       ROZWIĄZANIE: korzystając ze wzoru    $latex (a+b)^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3ab^2 + b^3 $ sześcian sumy liczb 2 i b to    $latex (2+b)^3 = 8+12b+6b^2 + b^3 $ a sześcian różnicy to    $latex (2-b)^3 = 8 – 12b + 6b^2 – b^3 $ Musimy rozwiązać równanie:   $latex (2+b)^3 + x = (2-b)^3 \\ \\ x = (2-b)^3 – (2+b)^3 \\ \\ x = 8 – 12b + 6b^2 – b^3 – 8 -12b – 6b^2 – b^3 \\ \\ x= -2b^3 – 24b $   Zatem wyrażenie, które należy dodać to    $latex -2b^3 – 24b $
• zadanie 14/1
  Żółw porusza się z prędkością $latex {6,48 \cdot 10^{-3}} {km \over h} $. Jaką odległość (w metrach) pokona w ciągu sekundy?       ROZWIĄZANIE: $latex {6,48 \cdot 10^{-3}} {km \over h} = {6,48 \cdot 10^{-3}} \cdot {1000 \over 3600} {m \over s} = {0,18 \cdot 10^{-2}}{m \over s} = 0,18 : 100 {m \over s} = 0,0018 {m \over s} $   0,0018m = 0,18cm = 1,8mm    Żółw w ciągu jednej sekundy przejdzie 0,0018m
• zadanie 13/1
  Oblicz   $latex \ \ \log_{3}({2+ \log_{4} \ {0,25}}) $       ROZWIĄZANIE: $latex \log_{3}({2+ \log_{4} \ {0,25}}) = \log_{3}(2-1) = \log_{3}{1} = 0 $
• zadanie 12/1
  Wykaż, że liczba a jest mniejsza od liczby b, jeśli: $latex a = {{{10^{2010}} \ + \ 1} \over { {10^{2011}} \ – \ 1} }, \ \ \ \ \ b = {{{10^{2011}} \ + \ 1} \over { {10^{2010}} \ – \ 1} } &s=1$       ROZWIĄZANIE: pokażemy, że:    $latex b-a \ > \ 0 &s=0 $ $latex b-a = {{{{10^{2011}} \ + \ 1} \over {{10^{2010}} \ – \ 1}} – {{{10^{2010}} \ + \ 1} \over {{10^{2011}} \ – \ 1}}} = {{({{10^{2011}} \ + \ 1})({{10^{2011}} \ – \ 1})} – {{({{10^{2010}} \ + \ 1})({{10^{2010}} \ – \ 1})}} \over ({{10^{2010}} \ – \ 1})({{10^{2011}} \ – \ 1})}= \\ \\ \\ ={{10^{4022}-1-10^{4020}+1} \over ({10^{2010}-1}){(10^{2011} – 1)}} = {{10^{4022}-10^{4020}} \over ({10^{2010}-1}){(10^{2011} – 1)}} \ > \ 0 &s=1 $   $latex \Rightarrow \ b-a \ > \ 0 \ \ \Rightarrow \ b \ > \ a &s=0 $
• zadanie 11/1
  Cena roweru w pewnym sklepie w październiku była równa 2200zł. W listopadzie cenę obniżono o 20%, a w grudniu podwyższono o 10%. O ile złotych należałoby podnieść cenę roweru po dwukrotnej zmianie ceny, aby wróciła do ceny początkowej?       ROZWIĄZANIE: Cenę obniżono o 20% czyli nowa cena, to 80% ceny pierwotnej i analogicznie jak cenę podniesiono o 10%, to nowa cena, to 110% ceny poprzedniej.   $latex 2200 \cdot 0,8 \cdot 1,1 \ = \ 1936 \\ \\ 2200 \ – \ 1936 \ = \ 264 $ Cenę należałoby podnieść o 264zł.
• zadanie 10/1
  Zaznacz na osi liczbowej | 2 – x | > 4       ROZWIĄZANIE: $latex | 2 – x | > 4 $ odległość od liczby 2 jest większa niż 4   $latex 2 – x > 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lub \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(2-x) > 4 $ $latex – x > 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -2+x > 4 $ $latex x 6 $    
• zadanie 9/1
  Wyrażenie   $latex \ {8 ^ {-{1 \over 3}} \cdot (2 ^ { \sqrt {5}}) ^ { \sqrt {5}}} \over {(0,25) ^ {-1} \ : \ 32 } \ &s=1 $   zapisz w postaci   $latex 2 ^ p $,   gdzie p jest liczbą całkowitą.       ROZWIĄZANIE: $latex {{8 ^ {-{1 \over 3}} \cdot (2 ^ { \sqrt {5}}) ^ { \sqrt {5}}} \over {(0,25) ^ {-1} \ : \ 32}} \ = \ { {{(2 ^ 3) ^ {-{1 \over 3}}} \cdot 2 ^ 5} \over {4 ^ 1 \ : \ 2 ^ 5 } } \ = \ { { 2 ^ {-1} \cdot 2 ^ 5} \over {2 ^ 2 \ : \ 2 ^ 5 } } =\ { { 2 ^ 4 } \over {2 ^ {-3} } } = 2 ^ 7 &s=1$
• zadanie 8/1
  Znajdź wszystkie liczby całkowite k spełniające warunek   $latex -{3 \over 5} \sqrt 3 < k < {4 \over 5} \sqrt 3 $       ROZWIĄZANIE: $latex \sqrt 3 \approx 1,7 \\ \\ -{3 \over 5} \cdot 1,7 \approx -0,6 \cdot 1,7 = -1,02 \\ \\ {4 \over 5} \cdot 1,7 \approx 0,8 \cdot 1,7 = 1,36 \\ \\ -1,02 < k < 1,36 \\ \\ k \in \{-1,0,1 \} $
• zadanie 7/1
  Oblicz   $latex 5 ^ {4 \over 3} \cdot \sqrt [3] {5^5} $       ROZWIĄZANIE: $latex 5 ^ {4 \over 3} \cdot \sqrt [3] {5^5} = \sqrt [3] {5^4} \cdot \sqrt [3] {5^5} = \sqrt [3] {5^9} = 5^3 =125 $
• zadanie 6/1
  Sznurek o długości 10m pocięto na trzy części, których stosunek długości jest równy 3:5:7. Jaką długość mają poszczególne części?       ROZWIĄZANIE: $latex 3+5+7=15 \\ \\ {10m:15}= {2 \over 3 } \\ \\ {2 \over 3} \cdot 3 = 2m; \ \ \ {2 \over 3} \cdot 5 = {10 \over 3} m; \ \ \ {2 \over 3} \cdot 7 = {14 \over 3}m; $
• zadanie 5/1
  Zapisz za pomocą nierówności przedział liczbowy $latex $       ROZWIĄZANIE: $latex {{-2 + 4} \over {2} }= 1 $ środkiem przedziału jest liczba 1 oraz odległość od 1 do 4 i do -2 wynosi 3 zatem nierówność ma postać $latex |x-1| \le 3 $
• zadanie 4/1
  W klasie 1 a przeprowadzono ankietę, z której wynikało że 40% uczniów posiada telefon komórkowy. Taką sama ankietę przeprowadzono po 2 latach w tej samej klasie. Okazało się wtedy, że aż 70% uczniów tej klasy posiada telefon komórkowy. Liczba osób ankietowanych w obu przypadkach była taka sama. O ile procent wzrosła liczba uczniów, którzy posiadają telefon komórkowy? O ile punktów procentowych wzrosła liczba osób posiadające telefon komórkowy?         ROZWIĄZANIE: a- liczba osób ankietowanych   $latex 40\%a \,\,-\,\, 100\% \\ \underline{ 70\%a \,\,-\,\,\, x} \\ \\ x= {{70\%a \cdot 100\%} \over {40\%a}} = 175\% \\ \\ 175\%-100\%=75\% $     czyli liczba osób wzrosła o 75% i o 30 punktów procentowych.
• zadanie 3/1
  Oblicz wartość wyrażenia $latex {{{1 \over 3} \cdot \sqrt [3]{-27}} \over {3^2}} \cdot 9 $       ROZWIĄZANIE: $latex {{{1 \over 3} \cdot \sqrt [3]{-27}} \over {3^2}} \cdot 9 = {{{1 \over 3} \cdot (-3)} \over 9} \cdot 9= -1 $
• zadanie 2/1
  Ile wynosi liczba $latex 2^{5 \over 2} $       ROZWIĄZANIE: $latex 2^{5 \over 2}= \sqrt {2^5} = 4 \sqrt 2 $
• zadanie 1/1
  Średnia arytmetyczna liczb: $latex \sqrt{{1}{7 \over 9}}$, $latex ({-3}^{-1})$, x równa się 3. Ile wynosi liczba x?       ROZWIĄZANIE: $latex {{\sqrt{{1}{7 \over 9}} + ({-3}^{-1}) + x} \over {3}}=3 \\ {\sqrt{{1}{7 \over 9}} + ({-3}^{-1}) + x} = 9 \\ {{4 \over 3} – {1 \over 3} + x }=9 \\ 1 + x =9 \\ x = 8 $